Fourier Series

Integrals

2D Integrals

projezierbarkeit x, y

3D Integrals

$$G\subseteq \Bbb{R^3}$$

projezierbarkeit x, y

Volume

$$V = \iiint\limits_G 1\,d(x, y, z)$$

Mass

$$M := \iiint\limits_G ρ(x, y, z)d(x, y, z)$$

Schwerpunkt

$$x_s = \frac{1}{M}\iiint\limits_G xρ(x, y, z)d(x, y, z) \\ y_s = \frac{1}{M}\iiint\limits_G yρ(x, y, z)d(x, y, z) \\ z_s = \frac{1}{M}\iiint\limits_G zρ(x, y, z)d(x, y, z)$$

Trägheuitsmomente

$T_x = \frac{1}{M}\iiint\limits_G (y 2 + z 2 )ρ(x, y, z)d(x, y, z) \\ T_y = \frac{1}{M}\iiint\limits_G (x 2 + z 2 )ρ(x, y, z)d(x, y, z) \\ T_z = \frac{1}{M}\iiint\limits_G (x 2 + y 2 )ρ(x, y, z)d(x, y, z)$

Coordinate transformations

polar/ cylindric	sphere
$x=rcos\varphi\\ y=rsin\varphi\\z=t$	$x=rsin\vartheta cos\varphi\\ y=rsin\vartheta sin\varphi\\ z=rcos\vartheta$
$|det| = r$	$|det| =r^{2}sin\vartheta$

Determinant

$$|A| = \begin{vmatrix}a & b\\c & d\end{vmatrix} = ad - bc$$

Example: $H = \{(r,\varphi)\in\Bbb{R}²|1\leq{r}\leq 2,0\leq \varphi \leq \pi\}$

$$\begin{align} det\biggl(\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}\biggr) & = \biggl(\begin{matrix}cos\varphi & -rsin\varphi\\sin\varphi & rcos\varphi\end{matrix}\biggr) \\ & =rcos²\varphi+rsin²\varphi=r \end{align}$$

Curve Integrals

Parametrization $k(t)=\biggl(\begin{matrix}k_1(t) \\ k_2(t)\end{matrix}\biggr), \,\,\, \in[a,b]$ Arclength $L=\int\limits_K 1 \, dk=\int\limits_a^b ||\dot{\vec{k}}||\, dt$ Skalarfield (non orientated curves) $\int\limits_K f \, dk=\int\limits_a^b f(\vec{k}(t))\,||\dot{\vec{k}}||\, dt$

Surface Interals

$$\vec{n} = \pm \frac{\vec{x_u} \times \vec{x_v}}{||\vec{x_u} \times \vec{x_v}||}$$

Gauß

regulärer Bereich, Oberfläche S, Parameterdarstellung so gewählt (+-n) dass normale nach außen zeigt, stetig differenzierbar, abl 1 o

​ Volumen $\lrarr ​$ Oberfläche

​ Quelldichte im Körper $\lrarr$ Fluss des Vektorfeldes durch Oberfläche $\int\limits_G div(\vec V ) \, dV=\int\limits_S (\vec{V} \circ \vec{n})\, dS$

$$div \,\vec V = \frac{\partial V_1}{\partial x}+\frac{\partial V_2}{\partial y}+\frac{\partial V_3}{\partial z}$$

Stokes / Green

gilt für stückweise glatte, zweiseitige fläche mit geschlossener randkurve ohne doppelpunkte mit auf mengo o stetig partielle abl 1 ord

Dabei ist dierandkurve im uhrzeiger sinn fest gelegt— fläche S muss beim durchlaufen links liegen.

​ Fläche $\lrarr$ Kurve (Rand) $\int\limits_S rot(\vec{V}) \circ \vec{n} \, dS = \oint\limits_{\partial{S}} \vec V \, \vec{dK}$

$$rot(\vec V ) = \begin{pmatrix}\frac{\partial V_3}{\partial y}-\frac{\partial V_2}{\partial z}\\ \frac{\partial V_1}{\partial z}-\frac{\partial V_3}{\partial x}\\ \frac{\partial V_2}{\partial x}-\frac{\partial V_1}{\partial y} \end{pmatrix}$$

Complex Integrals

Functions in $\Bbb{C}$

$$z=x+jy ​$$ $$f(z)=f(x+jy)=\Re\{f(z)\}+\Im\{f(z)\} = u(x,y) + jv(x,y)$$ $$z=rcos\varphi+jrsin\varphi = re^{j\varphi}$$

examples:

$$z* \overline z = (x+jy)(x-jy) = x^2+y^2​$$ $$(z²+1)=(z-i)(z+i)$$ $$(z²-1) = (z-1)(z+1)$$

Limits and differentiation in $\Bbb{C}$

A complex function f is holomorphic, regular or analytical if,

1) a point $z_0 \in D(f)​$ exists on an open set $\mathcal{O}​$ so that $z_0 \in \mathcal{O}\subseteq D(f)​$ is valid and $f​$ is differentiable in every point of $\mathcal{O}​$.

2) …

3) it is expressed as a polynomial of the form $f(z) = z^n​$ or a power series of the form $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n z^n​$ $f^{'}=\lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$

Cauchy-Riemann Differential Equations

Notwendiges aber kein hinreichendes Kriterium für die komplexe Integration. $u_x (x_0 , y_0) = v_y ( x_0 , y_0)\\ u_y (x_0 , y_0) = - v_x ( x_0 , y_0)\\ f^{'}(z_0)=u_x (x_0 , y_0)+ jv_x ( x_0 , y_0)=u_y (x_0 , y_0)-jv_y ( x_0 , y_0)$

example: $f(z)=z\overline z=x^2+y^2 = u(x,y) \\ v_x(x,y) = v_y(x,y) = 0 \\ u_x(x,y) = 2x, and \,\,u_y(x,y)=2y \\ \implies z_0=0 \,\,with\,\,x_0=y_0=0 \,\, differentiable$ just differentiable at postition zero

Residuals

Singularities sind die komplexen Nullstellen des Nenners bei gebrochen rationalen Funktionen e.g. $\frac{1}{(z-j)(z+j)}​$ with $z_0 = j; z_1=-j​$ as singularities.

$$f(z)= \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$$

Resiudal sentence

Residuensatz mit Bedingungen stückweise glatte geschlossene doppelpunktfreie Kurve, sodass alle Singularitäten im inneren liegen. Der Drehsinn ist hierbei so zu wählen das das Innere links der Kurve liegt.

$$\ointctrclockwise\limits_K{f(z)}\,dz = 2\pi j \sum_{i=1}^{n}Res_{z=z_i} f(z)$$

example: